在数学的发展历程中，有三次重大的危机，它们不仅挑战了数学的基础，也推动了数学的进步。这三次危机分别是古希腊时期毕达哥拉斯学派提出的毕氏悖论，十七世纪微积分基础的不确定性，以及二十世纪集合论中的罗素悖论。这些危机的发生，使数学家们不得不重新审视数学的逻辑基础，并在此过程中推动了数学理论的深化和发展。
其中，毕氏悖论是最具代表性的一个。毕达哥拉斯学派坚信所有数字都可以用整数或整数比来表示，但当他们发现根号二无法以这种方式表达时，这一信念被彻底颠覆。这个发现不仅打破了他们原有的世界观，也引发了对数学本质的深入探讨。根号二的无理性证明了数学世界中的无限多样性和复杂性，同时也标志着数学从具体的量度走向抽象的概念转变。